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해석적 확장(analytic continuation)

이쁜왕자 2013.11.04 11:35
시작이 1 공비가 r 인 무한 등비급수 가 있다고 하자.
이는 1 + r + r^2 + r^3 + ... 인데, -1<r<1 이라는 조건을 부여 하면, 이 값은 1 / (1-r) 로 수렴된다.
그런데, r>1 이거나 r<=-1 일때도 저렇게 정의된다고 생각하자. 이것이 해석적 확장(또는 해석적 연속)이다.
어떤 수열의 합이 실제로는 수렴하지 않지만, 수렴한다고 가정하고 어떤 계산을 하는 것이다.


가장 간단한 경우는 r = -1 인 경우이다.
1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... 은 그냥 진동하지만, 해석적 확장을 적용하면 1/2 이란 값이 나온다.

주의 해야 할 것은, 해석적 확장으로 얻어 진 값은 그것이 수렴한다는 것을 의미하는 것은 아니라는 것이다.
만약 저 수열의 합이 어떤 값을 가져야 한다면, 그것은 1/2 이다. 라는 것을 의미한다.
그래도, 저 수열은 0 과 1 사이에서 진동하므로 그 값이 1/2 이라고 한다면, 나름 직관적으로 타당함이 있다.

좀더 자세한 것은 위키 참고.
http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series


그런데, 이런 해석적 확장을 적용하면, 신기한 결과가 많이 나온다.

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... = 1/4 이 나온다. ( 관련 위키 )

이것은 바로 그 '레온하르트 오일러'가 발견한 것인데, 그 당시 해석적 확장이라는 개념이 없었던 것을 생각하면 대단한 직관이며, 그의 천재성을 엿볼 수 있다.
그래도, 이리저리 변환해서 계산해 보면, 불가능한 계산 만은 아니다.


그리고, 자연수의 수열을 모두 합하는 것은
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = −1/12 이 나온다. ( 관련 위키 )

이쯤 되면 상식적으로 이해가 안되는 상황이 발생한다. 0보다 큰 자연수를 모두 더했는데 음수가 된다(???)
이 식은 또다른 천재 수학자인 '라마누잔'이 발견한 것이고, 라마누잔 합 이라는 것을 적용하면 나온다고 한다.


사실 이것은 제일 처음 언급한 무한 등비 급수에서 r = 2 인 경우도 비슷하게 된다.
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = -1 이 된다.

수학의 세계는 참으로 어렵고 오묘하다.

- 이쁜왕자 -
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