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로그(log) 와 음수, log(-1) 은 얼마인가? 본문

퍼즐판

로그(log) 와 음수, log(-1) 은 얼마인가?

이쁜왕자 2013.02.01 19:17
a^c = b 를 만족할때 log_a (b) = c 또는 log(a,b) = c 라고 표현된다.


특히 a = e 일때를 자연로그 (보통 ln 으로 표기), a = 10 일때를 상용로그 (보통 lg 로 표기), a = 2 일때를 이진로그 (보통 lb 로 표기) 하여 구분한다고 하는데, ln 말고는 잘 안쓰인다.

 
그리고, 고등학교 교과과정에서는 로그에 대해서 a 는 1 이 아닌 0 보다 큰 실수, b 는 0 보다 큰 실수로 한정한다.


이렇게 범위를 한정하는 이유는, 저 조건을 만족해야 실수 범위 내에서 정의되기 때문이다. 하지만, 수학의 세계는 넓고도 오묘해서 log 를 음수뿐만 아니라 복소수 범위로 확장해서 적용하는 것이 가능하다.

(주: 이글에서는 편의상 밑이 표기 안된 log 는 자연로그 ln 을 의미함.)
(주2: 이글에서는 편의상 엄밀한 증명은 생략함.)



1.1) b 가 음수인 경우


예를 들어 log(-1) 은 어떤 값일까?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%28-1%29
울프람 알파에 돌려보면 log(-1) = iπ 이라는 허수가 튀어 나온다.

그런데, 이것은 바로 그 유명한 오일러의 등식 e^(iπ) = -1 으로부터 계산되어 진다.


이 유명한 오일러의 등식이 이런데서 튀어 나오는 걸 보면, 다시한번 오일러의 위대함을 느낄 수 있다.

사실 엄밀히 말하면 e^(3iπ) = -1 이고, e^(5iπ) = -1이며, 뿐만아니라 모든 2π 를 주기를 가지는 (2k+1)iπ, (k는 정수)에 대해서 e^((2k+1)iπ) = -1 이 성립하므로, 저렇게 하나의 값으로만 결정되지만은 않는다. 좀더 자세한건 이 글에서는 패스한다. 그래도 알고 싶다면, 아래의 사족 참조.

임의의 양의 실수 x, (x>0) 에 대해서 -x 의 로그값은 아래와 같이 정의할 수 있다.


물론 엄밀한 정의는 아니지만, 이 글에서는 이정도만 이해해도 충분하다. 정확하게는 음수에 대해서 정말 로그가 정의되는지, 정의된다고 할때 덧셈 규칙이 적용되는지 등등이 확인되어야 한다.

1.2) b가 복소수인 경우


b 가 음수일때도 log 가 정의됨을 이해했다면, 복소수여도 정의됨을 이해할 수 있을 것이다.
예를 들어 log(i) 는 얼마일까?

역시, 좀더 일반식인 오일러의 공식 e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) 가 사용된다.


x = π/2 일때, 우변이 i 가 된다. 다시 말해 e^(iπ/2) = i 이고, 즉 log(i) = iπ/2 이다.

임의의 복소수에 대해서 로그 값을 구하기 위해서는 일단 복소수를 극좌표 형식로 변환한다. 


그리고, 위 식의 양변에 로그를 취하고 정리하면 다음과 같이 된다.

위의 log(-x) 역시 이 형태의 특수한 경우임을 알 수 있다.



2.1) a 가 음수 인경우



로그를 정의할때 a 는 1이 아니고, 0보다 큰 양의 실수로 제한되어 있다.

그런데, (-2)^2 = 4 이므로 log(-2,4) = 2 라고 쓸 수 있을까?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%28-2%2C4%29
울프람 알파에 돌려 보면 log(-2,4) = log(4) / ( log(2) + iπ ) 라는 값이 튀어 나오고, 이는 분명히 2 는 아니다.

a 가 음수이면 어떻게 되는 것일까?

의외로 간단하다. 
로그의 성질상 log_a (b) = log (b) / log (a) 이고, log (n*m) = log(n) + log(m) 만 알고 있으면 된다.


다시 말해 log(-2,4) 를 풀어 쓰면 다음과 같다.

log(-2,4) = log(4) / log(-2) = log(4) / ( log(2) + log(-1) )
그런데, log(-1) = iπ 라고 위에서 값을 계산했다.
그러므로, log(-2,4) =  log(4) / ( log(2) + iπ ) 가 된다.


2.2) a 가 복소수인 경우



여기까지 왔다면, a 가 복소수여도 아무런 문제가 없다는 것도 이해가 될 것이다.

예를 들어, i 를 밑으로 하는 log_i(2) 라면, 이는 log(2) / log(i) 가 되고, log(i) = iπ/2 이므로, 
그러므로 log_i(2) = 2log(2) / iπ = - 2log(2) * i / π 임을 계산할 수 있다.
 



결론

log_a (b) 는 a=0, a=1, b=0 인 경우를 제외한 모든 복소수 a,b 에 대해서 정의된다.


사족

복소수의 로그는 이미 오래전에 잘 정의되어 있는데, 이를 조금 쉽게 풀어 쓴 것이다. 그리고, 실제로는 훨씬 더 엄밀한 수학적 정의가 필요하며, 이에 대해서는 대학교 수학중 '복소해석학'에서 다룬다. 이마저 수학과이거나,이에 관심있는 사람이 아니라면 구경할일 조차 없는 과목이다.

그래도, 자세히 알고 싶다면, 일단 아래 링크된 위키백과(영문)이라도 보면 좋다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_analysis
http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm
http://en.wikipedia.org/wiki/Arg_(mathematics)

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4 Comments
  • 프로필사진 jjg0427 2013.02.05 12:03 신고 감사합니다 그럼 고등학교교재에서 정의되는 로그는실수범위에서만다루위해 제한하는것인가요? 밑이음수이거나 진수가음수인경우 복소수까지로확장하고 오일러공식을써야하기때문에 그런것인가요
  • 프로필사진 이쁜왕자 2013.02.05 12:38 신고 원래 로그는 실수(그것도 양의 실수)를 다루기 위해서 만들어진 것으로 보는게 맞습니다. 그래서 실제로 고등학교에서는 양의 실수로 한정하여 배우지요.
    하지만, 수학자들이 로그를 음수 또는 복소수로 확장하는 것이 가능한가를 고민하였고, 엄밀한 정의하에 확장이 가능함을 밝혀낸 것이지요. 하지만, 실제로 복소수 조차 실 생활에서 쓸일이 거의 없는데, 복소수 로그는 사실상 쓰일 일이 전혀 없다는 점에서 알려지지 않은 것이라 보는게 더 맞습니다.
  • 프로필사진 Outburst 2017.03.03 15:10 신고 고맙습니다. 그런데 로그의 밑이 e가 아닌경우에는, 즉 자연로그가 아닌경우에는 값이 음수일때 지수를 구하는 것 자체가 불가능한 건가요?
  • 프로필사진 이쁜왕자 2017.03.04 14:13 신고 log_a (b) = log(b) / log(a) 이므로 변환해서 계산하면 됩니다. 자연로그이건 상용로그 이건 아무 상관이 없습니다.
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